第 087 题 / 121

【第三期 · 原第32题】
已知 $A_{1},A_{2}$ 为椭圆 $C_{1} : \dfrac{x^{2}}{3} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left( 0 < b < \sqrt{3}\right)$ 的左、右顶点, $M$ 为 $C_{1}$ 上的一点, $N$ 为双曲线 $C_{2} : \dfrac{x^{2}}{3} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上的一点 ($M, N$ 两点不同于 $A_{1},A_{2}$ 两点), 设直线 $A_{1}M,A_{2}M,A_{1}N,A_{2}N$ 的斜率分别为 $k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}$, 且 $k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4} = 0$.

(1) 设 $O$ 为坐标原点，证明: $O$，$M$，$N$ 三点共线；

(2) 设 $C_{1}$、$C_{2}$ 的右焦点分别为 $F_{1}$、$F_{2}$，$M$、$N$ 均在第一象限，直线 $NF_{1}$ 与直线 $MF_{2}$ 相交于点 $P$，$k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2} + k_{4}^{2} = 8$.

(i) 证明: $MF_{1}\parallel NF_{2}$;

(ii) 证明: $\angle A_{1}PF_{1} = \angle A_{2}PF_{2}$.