第 088 题 / 121

【第四期 · 原第1题】
设抛物线 $C : {y}^{2} = {2px}\left( {p > 0}\right)$ 的焦点为 $F$ ,点 $D\left( {p,0}\right)$ ,过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点. 当直线 $MD$ 垂直于 $x$ 轴时, $\left| {MF}\right| = 3$ .

(1)求 $C$ 的方程；

(2)设直线 $MD, ND$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ,记直线 $MN, AB$ 的斜率为 $k_{1}, k_{2}$ ,求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值;

(3)记直线 $MN, AB$ 的倾斜角分别为 $a,\beta$ . 当 $a - \beta$ 取得最大值时,求直线 $MN$ 的方程