第 089 题 / 121

【第四期 · 原第2题】
已知 $F$ 为抛物线 $E : {y}^{2} = {2px}\left( {p > 0}\right)$ 的焦点, $O$ 为坐标原点, $M$ 为 $E$ 的准线 $l$ 上一点,直线 ${MF}$ 的斜率为 $-1,\bigtriangleup {OFM}$ 的面积为 $\frac{1}{16}$ . 已知 $P\left( {3,1}\right) , Q\left( {2,1}\right)$ ,设过点 $P$ 的动直线与抛物线 $E$ 交于 $A\text{ 、 }B$ 两点,直线 ${AQ},{BQ}$ 与 $E$ 的另一交点分别为 $C, D$ .

(1)求抛物线 $E$ 的方程；

(2)当直线 ${AB}$ 与 ${CD}$ 的斜率均存在时，讨论直线 ${CD}$ 是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.