第 092 题 / 121

【第四期 · 原第5题】
已知抛物线 $E : {y}^{2} = {2px}\left( {p > 0}\right)$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 作直线 ${l}_{1}$ 与抛物线交于 $A, B$ 两点 ($A$ 在 $x$ 轴的上方)，线段 ${AB}$ 的中点 $M$ 到 $y$ 轴的距离的最小值为 1.

(1) 求抛物线 $E$ 的方程;

(2) 过 $F$ 作直线 ${l}_{2}$ 与抛物线交于 $C, D$ 两点 ($C$ 在 $x$ 轴的上方)，记直线 ${AD}$ 的斜率为 ${k}_{1}$，直线 ${BC}$ 的斜率为 ${k}_{2}$，且 ${k}_{2} = 2{k}_{1}$.

(i) 求证: 直线 ${AD}$ 过定点 $G$;

(ii) 若线段 ${CD}$ 的中点为 $N$，求 $\triangle {GMN}$ 的面积的取值范围.