第 093 题 / 121

【第四期 · 原第6题】
平面直角坐标系 $xOy$ 中,椭圆 $\mathrm{C} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ,抛物线 $\mathrm{E} : x^{2} = 2y$ 的焦点 $\mathrm{F}$ 是 $\mathrm{C}$ 的一个顶点.

( I ) 求椭圆 $\mathrm{C}$ 的方程;

( II ) 设 $\mathrm{P}$ 是 $\mathrm{E}$ 上的动点,且位于第一象限, $\mathrm{E}$ 在点 $\mathrm{P}$ 处的切线 $l$ 与 $\mathrm{C}$ 交与不同的两点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ ,线段 $\mathrm{AB}$ 的中点为 $\mathrm{D}$ , 直线 $\mathrm{OD}$ 与过 $\mathrm{P}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交于点 $\mathrm{M}$ .

(i) 求证: 点 $\mathrm{M}$ 在定直线上;

(ii) 直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $\mathrm{G}$ ,记 $\triangle PFG$ 的面积为 $S_{1},\triangle PDM$ 的面积为 $S_{2}$ ,求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值及取得最大值时点 $\mathrm{P}$ 的坐标.