第 098 题 / 121

【第四期 · 原第11题】
已知直线 $l : x - y - 1 = 0$ 与抛物线 $C_1 : x^2 = 2py\left( p > 0\right)$ 相切，抛物线 $C_2$ 与抛物线 $C_1$ 关于 $l' : y = x$ 对称，点 $A$ 为 $C_2$ 上一动点,若过点 $A$ 可以作 $C_1$ 的两条切线 $AB, AC$ 分别交 $C_2$ 于 $B, C$ 两点.

(1)求 $p$ ；

(2)若点 $A$ 的纵坐标为 -4，求 $\left| BC\right|$ ；

(3)求证:直线 $BC$ 与抛物线 $C_1$ 相切.