第 099 题 / 121

【第四期 · 原第12题】
已知抛物线 $E : y = x^{2}$，过点 $T(1,2)$ 的直线与抛物线 $E$ 交于 $A, B$ 两点，设抛物线 $E$ 在点 $A, B$ 处的切线分别为 $l_{1}$ 和 $l_{2}$，已知 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交于点 $M, l_{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $P$.

(1)证明: 点 $P$ 在定直线上;

(2)若 $\triangle PMN$ 面积为 $\sqrt{2}$，求点 $P$ 的坐标；

(3)若 $P, M, N, T$ 四点共圆，求点 $P$ 的坐标.