第 100 题 / 121

【第四期 · 原第13题】
已知椭圆 $C : \frac{4}{3}x^2 + 2y^2 = 1$，动点 $P(x_0,y_0)$ 在抛物线 $y^2 = x + 1$ 上，过点 $P$ 作椭圆的两条切线分别交抛物线于不同的两点 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$.

(1)求椭圆 $C$ 的焦距；

(2)若切线 $AP$ 与椭圆的切点恰好是 $AP$ 的中点，求直线 $AP$ 的方程；

(3)证明：直线 $AB$ 经过定点，并写出定点坐标.