第 102 题 / 121

【第四期 · 原第15题】
圆锥曲线有着丰富的光学性质. 从抛物线 $\Gamma : {y}^{2} = {2px}\left( {p > 0}\right)$ 的焦点 $F$ 处出发的光线照射到抛物线上点 $P\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ , 经反射后的光线平行于抛物线的轴. 若点 $P$ 在第一象限、直线 $l$ 与抛物线 $\Gamma$ 相切于点 $P$ .

(1)已知点 $P\left( {1,\sqrt{2}}\right)$ ,求切线 $l$ 的方程;

(2)过原点作切线 $l$ 的平行线，交 ${PF}$ 于点 $S$ ，若 $\left| {FS}\right| = 1$ .

(i) 求抛物线 $\Gamma$ 的方程;

(ii) 过 $\Gamma$ 准线上点 $N$ 作圆 $M : {\left( x - m\right) }^{2} + {y}^{2} = 1\left( {m > 0}\right)$ 的两条切线 ${l}_{1},{l}_{2}$ ,且 ${l}_{1},{l}_{2}$ 分别与 $\Gamma$ 交于 $A\left( {{s}_{1},{t}_{1}}\right) , B\left( {{s}_{2},{t}_{2}}\right)$ 两点和 $C\left( {{s}_{3},{t}_{3}}\right) , D\left( {{s}_{4},{t}_{4}}\right)$ 两点. 是否存在圆 $M$ ,使得当点 $N$ 运动时, ${t}_{1}{t}_{2}{t}_{3}{t}_{4}$ 为定值? 并说明理由.