第 103 题 / 121

【第四期 · 原第16题】
已知抛物线 $E : {x}^{2} = {2y}$，圆 $F : {x}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$，点 $A(x_0, y_0)$（其中 $y_0 > 2$）为抛物线 $E$ 上一动点，过点 $A$ 作圆 $F$ 的两条切线分别与 $x$ 轴交于点 $B, C$。

(1) 判断抛物线 $E$ 与圆 $F$ 的交点个数，并说明理由；

(2) 求 $|BC|$ 的取值范围；

(3) 求 $\triangle ABC$ 周长的最小值。