第 105 题 / 121

【第四期 · 原第18题】
在平面直角坐标系 $xOy$ 中, $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 2py\left( p > 0\right)$ 的焦点, $M$ 是抛物线 $C$ 上位于第一象限内的任意一点, 过 $M, F, O$ 三点的圆的圆心为 $Q$ ,点 $Q$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为 $\frac{3}{4}$ .

(I) 求抛物线 $C$ 的方程;

(II) 是否存在点 $M$ ,使得直线 $MQ$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $M$ ? 若存在,求出点 $M$ 的坐标; 若不存在,说明理由;

(III) 若点 $M$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$ ,直线 $l : y = kx + \frac{1}{4}$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A, B, l$ 与圆 $Q$ 有两个不同的交点 $D, E$ , 求当 $\frac{1}{2} \leq k \leq 2$ 时, ${\left| AB\right| }^{2} + {\left| DE\right| }^{2}$ 的最小值.