第 108 题 / 121

【第四期 · 原第21题】
如图，已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$，抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2px(p > 0)$，点 $A$ 是椭圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C_{1}$ 于点 $B$，交抛物线 $C_{2}$ 于 $M$（$B, M$ 不同于 $A$）.

(I) 若 $p = \frac{1}{16}$，求抛物线 $C_{2}$ 的焦点坐标；

(II) 若存在不过原点的直线 $l$ 使 $M$ 为线段 $AB$ 的中点，求 $p$ 的最大值.