第 109 题 / 121

【第四期 · 原第22题】
过点 $A(1,0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C : y^2 = 2px(p > 0)$ 交于点 $M$、$N$ ($M$ 在第一象限),当直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{3}$ 时,

$|MN| = \frac{4\sqrt{7}}{3}.$

(1)求抛物线的方程；

(2)已知 $B(4,0)$，延长 $MB$ 交抛物线 $C$ 于点 $P$，当 $\triangle MNP$ 面积最小时，求点 $M$ 的横坐标.