第 110 题 / 121

【第四期 · 原第23题】
已知抛物线: $y^{2} = 2px(p > 0)$ 焦点为 $F$ ,直线 $y = x + 1$ 与抛物线有且只有一个交点.

(1)求抛物线的方程；

(2)设抛物线的准线与 $x$ 轴交于点 $E$ ,过点 $E$ 作直线 $l$ 与抛物线交于 $A, B$ 两点.

(i) 若 $\triangle ABF$ 的面积为 4,求直线 $l$ 的方程;

(ii) 设 $\triangle ABF$ 内切圆的半径为 $r$ ,求 $r$ 的最大值.