第 111 题 / 121

【第四期 · 原第24题】
已知抛物线 $C : y^2 = 2px$ .

(1) 若 $p = 3$ ,求过焦点 $F$ 且倾斜角为 $60^\circ$ 的直线被抛物线 $C$ 所截得的弦长.

(2)若 $p = 2$ ,

(i) 是否存在抛物线上的三个点 $M, N, Q$ ,使得 $\angle MQN$ 的内角平分线为 $x = 4$ ? 若存在,求直线 $MN$ 的斜率,若不存在, 请说明理由;

(ii) 若抛物线上的三个点 $M, N, Q$ 构成等腰直角三角形,求 $\triangle MNQ$ 面积的最小值.