第 112 题 / 121

【第四期 · 原第25题】
已知抛物线 $C : {y}^{2} = {2px}\left( {p > 0}\right)$，过抛物线焦点 $F$ 且斜率为 $\frac{4}{3}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点 (点 $A$ 在第一象限)，已知线段 $AB$ 中点 $M$ 纵坐标为 $\frac{3}{2}$。

(1)求抛物线 $C$ 方程；

(2)点 $P$ 在抛物线上移动，位于 $A, B$ 两点之间且与 $A, B$ 两点不重合。若直线 $AP$ 交准线于点 $D$，直线 $BP$ 交准线于点 $E$，其中点 $E$ 在点 $D$ 的上方。

(i) 是否存在点 $P$，使 $S_{\triangle PAB} = S_{\triangle PDE}$？若存在，求出点 $P$ 坐标；若不存在，请说明理由；

(ii) 求线段 $DE$ 长度最小值。