第 113 题 / 121

【第四期 · 原第26题】
在平面直角坐标系 $xOy$ 中,过点 $F(1,0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C : y^{2} = 4x$ 交于 $M, N$ 两点 $(M$ 在第一象限$)$.

(1)当 $|MF| = 3|NF|$ 时,求直线 $l$ 的方程;

(2)若三角形 $OMN$ 的外接圆与曲线 $C$ 交于点 $D$ (异于点 $O$ ， $M$ ， $N$ )，

(i) 证明: $\triangle MND$ 的重心的纵坐标为定值,并求出此定值;

(ii) 求凸四边形 $OMDN$ 的面积的取值范围.