第 114 题 / 121

【第四期 · 原第27题】
已知动圆过定点 $\left( {\frac{p}{2},0}\right)$ ,且与直线 $x = - \frac{p}{2}$ 相切,其中 $p > 0$ .

(1)求动圆圆心 $C$ 的轨迹的方程；

(2)设 $A$ 、 $B$ 是轨迹 $C$ 上异于原点 $O$ 的两个不同点，直线 ${OA}$ 和 ${OB}$ 的倾斜角分别为 $a$ 和 $\beta$ ，当 $a,\beta$ 变化且 $a + \beta$ 为定值 $\theta \left( {0 < \theta < \pi }\right)$ 时，证明直线 ${AB}$ 恒过定点，并求出该定点的坐标.