第 115 题 / 121

【第四期 · 原第28题】
设抛物线 $C:y=x^{2}$ 的焦点为 $\mathrm{F}$，动点 $\mathrm{P}$ 在直线 $l:x-y-2=0$ 上运动，过 $\mathrm{P}$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $\mathrm{PA}$、$\mathrm{PB}$，且与抛物线 $C$ 分别相切于 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ 两点.

(1) 求 $\triangle \mathrm{APB}$ 的重心 $\mathrm{G}$ 的轨迹方程.

(2) 证明 $\angle \mathrm{PFA}=\angle \mathrm{PFB}$.