第 116 题 / 121

【第四期 · 原第29题】
已知 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，抛物线 $C_{2} : (y - m)^{2} = 2px(p > 0)$ ，且 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的公共弦 $AB$ 过椭圆 $C_{1}$ 的右焦点.

(1) 当 $AB \bot x$ 轴时，求 $m$ 、 $p$ 的值，并判断抛物线 $C_{2}$ 的焦点是否在直线 $AB$ 上;

(2) 是否存在 $m$ 、 $p$ 的值，使抛物线 $C_{2}$ 的焦点恰在直线 $AB$ 上? 若存在，求出符合条件的 $m$ 、 $p$ 的值; 若不存在，请说明理由.