第 118 题 / 121

【第四期 · 原第31题】
已知抛物线 $C_1 : x^2 = 4y$ 的焦点 $F$ 也是椭圆 $C_2 : \dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的一个焦点，$C_1$ 与 $C_2$ 的公共弦的长为 $2\sqrt{6}$ .

(1) 求 $C_2$ 的方程;

(2) 过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_1$ 相交于 $A, B$ 两点，与 $C_2$ 相交于 $C, D$ 两点，且 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 同向.

(i) 若 $|AC| = |BD|$，求直线 $l$ 的斜率;

(ii) 设 $C_1$ 在点 $A$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $M$，证明：直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时，$\triangle MFD$ 总是钝角三角形.