第 120 题 / 121

【第四期 · 原第33题】
已知抛物线 $C : y^{2} = 2px(p > 0)$ 的焦点为 $F$ ,直线 $y = 4$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$ ,与 $C$ 的交点为 $Q$ ,且 $|QF| = \dfrac{5}{4}|PQ|$ .
(1)求抛物线 $C$ 的方程；
(2)过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，若 $AB$ 的垂直平分线 $l^{\prime}$ 与 $C$ 相交于 $M,N$ 两点，且 $A,M,B,N$ 四点在同一个圆上， 求直线 $l$ 的方程.